(* Content-type: application/mathematica *) (*** Wolfram Notebook File ***) (* http://www.wolfram.com/nb *) (* CreatedBy='Mathematica 7.0' *) (*CacheID: 234*) (* Internal cache information: NotebookFileLineBreakTest NotebookFileLineBreakTest NotebookDataPosition[ 145, 7] NotebookDataLength[ 251067, 6348] NotebookOptionsPosition[ 243537, 6132] NotebookOutlinePosition[ 243930, 6149] CellTagsIndexPosition[ 243887, 6146] WindowFrame->Normal*) (* Beginning of Notebook Content *) Notebook[{ Cell[CellGroupData[{ Cell["setup ", "Section"], Cell[CellGroupData[{ Cell["This loads the package.", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258751485*^9}, CellID->836781195], Cell[BoxData[ RowBox[{"<<", "AtomicDensityMatrix`"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{{3.522532598595615*^9, 3.522532603186735*^9}, 3.522586258751662*^9}, CellID->2058623809], Cell[TextData[{ "We define an atomic system consisting of two even-parity lower states and \ two odd-parity upper states. We apply a light field with components at \ frequencies ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], " (near resonant with the ", Cell[BoxData[ StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"|", "1"}], "\[RightAngleBracket]"}], "\[Rule]", RowBox[{"|", "3"}]}], "\[RightAngleBracket]"}], "InlineMath"]]], " transition), ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "2"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], " (near resonant with the ", Cell[BoxData[ StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"|", "2"}], "\[RightAngleBracket]"}], "\[Rule]", RowBox[{"|", "3"}]}], "\[RightAngleBracket]"}], "InlineMath"]]], " transition), ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "3"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], " (near resonant with the ", Cell[BoxData[ StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"|", "2"}], "\[RightAngleBracket]"}], "\[Rule]", RowBox[{"|", "4"}]}], "\[RightAngleBracket]"}], "InlineMath"]]], " transition), and ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "4"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], " (near resonant with the ", Cell[BoxData[ StyleBox[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"|", "1"}], "\[RightAngleBracket]"}], "\[Rule]", RowBox[{"|", "4"}]}], "\[RightAngleBracket]"}], "InlineMath"]]], " transition)" }], "Text", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{{3.522532429821333*^9, 3.522532492302448*^9}, { 3.522540911043191*^9, 3.522540911147507*^9}, 3.522586258751843*^9}, CellID->525777075], Cell["\<\ Work with real and imaginary parts of the density matrix variables.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellID->145610755] }, Open ]], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"SetOptions", "[", RowBox[{"DensityMatrix", ",", RowBox[{"ComplexExpandVariables", "\[Rule]", "Subscript"}]}], "]"}], ";"}]], "Input"], Cell[CellGroupData[{ Cell["Define the atomic system.", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258751924*^9}, CellID->429217524], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"system", "=", RowBox[{"{", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{"AtomicState", "[", RowBox[{"1", ",", RowBox[{"NaturalWidth", "\[Rule]", "0"}], ",", RowBox[{"Parity", "\[Rule]", "Even"}]}], "]"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"AtomicState", "[", RowBox[{"2", ",", RowBox[{"NaturalWidth", "\[Rule]", "0"}], ",", RowBox[{"Parity", "\[Rule]", "Even"}]}], "]"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"AtomicState", "[", RowBox[{"3", ",", RowBox[{"Energy", "\[Rule]", "0"}], ",", RowBox[{"NaturalWidth", "\[Rule]", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"]}], ",", RowBox[{"Parity", "\[Rule]", "Odd"}]}], "]"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"AtomicState", "[", RowBox[{"4", ",", RowBox[{"NaturalWidth", "\[Rule]", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"]}], ",", RowBox[{"Parity", "\[Rule]", "Odd"}]}], "]"}]}], "\[IndentingNewLine]", "}"}]}], ";"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{{3.522536311483895*^9, 3.52253631268178*^9}, 3.522586258752063*^9}, CellID->433132487], Cell[TextData[{ "Define the optical field with three frequencies, ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], ", ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "2"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], ", ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "3"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], ", and ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "4"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], "." }], "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{{3.522540939999547*^9, 3.522540967294499*^9}, { 3.522541679413973*^9, 3.522541681294852*^9}, 3.522586258752202*^9}, CellID->133602844] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"SetOptions", "[", RowBox[{"OpticalField", ",", RowBox[{"CartesianCoordinates", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "y", ",", "z"}], "}"}]}]}], "]"}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"PolarizationVector", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"1", ",", "0", ",", "0"}], "}"}]}], ",", RowBox[{"PropagationVector", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"0", ",", "0", ",", "1"}], "}"}]}], ",", RowBox[{"Parameterization", "\[Rule]", "AngleEllipticity"}], ",", RowBox[{"CartesianCoordinates", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"x", ",", "y", ",", "z"}], "}"}]}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"field", "=", RowBox[{ RowBox[{"OpticalField", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], ",", SubscriptBox["k", "1"]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "1"], "/", RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"1", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "3"}], "]"}]}], ",", SubscriptBox["\[Phi]", "1"]}], "}"}]}], "]"}], "+", RowBox[{"OpticalField", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "2"], ",", SubscriptBox["k", "2"]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"], "/", RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"2", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "3"}], "]"}]}], ",", SubscriptBox["\[Phi]", "2"]}], "}"}]}], "]"}], "+", RowBox[{"OpticalField", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "3"], ",", SubscriptBox["k", "3"]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "3"], "/", RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"2", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "4"}], "]"}]}], ",", SubscriptBox["\[Phi]", "3"]}], "}"}]}], "]"}], "+", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"OpticalField", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "4"], ",", SubscriptBox["k", "4"]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"], "/", RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"1", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "4"}], "]"}]}], ",", SubscriptBox["\[Phi]", "4"]}], "}"}]}], "]"}]}]}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellID->534530029], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ FractionBox[ RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "1"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "1"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "1"]}]}], ")"}]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "1"]}], RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"1", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "3"}], "]"}]], "+", FractionBox[ RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "2"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "2"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "2"]}]}], ")"}]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"]}], RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"2", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "3"}], "]"}]], "+", FractionBox[ RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "3"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "3"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "3"]}]}], ")"}]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "3"]}], RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"2", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "4"}], "]"}]], "+", FractionBox[ RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "4"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "4"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "4"]}]}], ")"}]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"]}], RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"1", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "4"}], "]"}]]}], ",", "0", ",", "0"}], "}"}]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell["\<\ The Hamiltonian for the system subject to the optical field. Each field is \ assumed to interact with only one transition\[LongDash]the other terms are \ set to zero.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258752645*^9}, CellID->462076121], Cell[BoxData[ RowBox[{"MatrixForm", "[", RowBox[{"H", "=", RowBox[{ RowBox[{"Expand", "@", RowBox[{"Hamiltonian", "[", RowBox[{"system", ",", RowBox[{"ElectricField", "\[Rule]", "field"}]}], "]"}]}], "/.", " ", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Cos", "[", "_", "]"}], " ", RowBox[{"ReducedME", "[", RowBox[{"_", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"Dipole", ",", "1"}], "}"}], ",", "_"}], "]"}]}], "\[Rule]", "0"}]}]}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258752779*^9}, CellID->494599775], Cell[BoxData[ TagBox[ RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{ { RowBox[{"Energy", "[", "1", "]"}], "0", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "1"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "1"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "1"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "1"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "4"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "4"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "4"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"]}]}, {"0", RowBox[{"Energy", "[", "2", "]"}], RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "2"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "2"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "2"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "3"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "3"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "3"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "3"]}]}, { RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "1"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "1"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "1"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "1"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "2"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "2"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "2"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"]}], "0", "0"}, { RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "4"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "4"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "4"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Cos", "[", RowBox[{ RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "3"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "3"], "-", RowBox[{"t", " ", SubscriptBox["\[Omega]", "3"]}]}], "]"}]}], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "3"]}], "0", RowBox[{"Energy", "[", "4", "]"}]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Center}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}}], "\[NoBreak]", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell["The level diagram for the system.", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258753087*^9}, CellID->358620443], Cell[BoxData[ RowBox[{"LevelDiagram", "[", RowBox[{"system", ",", RowBox[{"H", "/.", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Energy", "[", "1", "]"}], "\[Rule]", RowBox[{"-", "1.5"}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{"Energy", "[", "2", "]"}], "\[Rule]", RowBox[{"-", "1"}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{"Energy", "[", "4", "]"}], "\[Rule]", ".5"}]}], "}"}]}]}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.52258625875322*^9}, CellID->167259034], Cell[BoxData[ GraphicsBox[{{{{}, LineBox[{{-0.9, -1.5}, {-0.09999999999999998, -1.5}}]}, {{}, LineBox[{{-0.9, -1}, {-0.09999999999999998, -1}}]}, {{}, LineBox[{{0.09999999999999998, 0}, {0.9, 0}}]}, {{}, LineBox[{{0.09999999999999998, 0.5}, {0.9, 0.5}}]}}, {{}, {}, {}}, {Arrowheads[{-0.07659574468085106, 0.07659574468085106}], ArrowBox[{{-0.45999999999999996`, -1.5}, {0.45999999999999996`, 0.}}], ArrowBox[{{-0.45999999999999996`, -1.5}, {0.45999999999999996`, 0.5}}], ArrowBox[{{-0.45999999999999996`, -1}, {0.45999999999999996`, 0.}}], ArrowBox[{{-0.45999999999999996`, -1}, {0.45999999999999996`, 0.5}}]}, {PointSize[0.0225]}}, ImagePadding->{{2, 2}, {2, 2}}, ImageSize->94.]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell["Apply the rotating-wave approximation to the Hamiltonian.", \ "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258753521*^9}, CellID->577766068], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"Hrwa", "=", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"RotatingWaveApproximation", "[", RowBox[{"system", ",", RowBox[{ RowBox[{"H", "/.", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "3"], "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "2"], "+", "\[Omega]43"}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "4"], "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], "+", "\[Omega]41"}]}]}], "}"}]}], "/.", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["k", "3"], "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["k", "2"], "+", "k43"}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["k", "4"], "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["k", "1"], "+", "k41"}]}]}], "}"}]}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], ",", SubscriptBox["\[Omega]", "2"], ",", "\[Omega]43"}], "}"}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"TransformMatrix", "\[Rule]", RowBox[{"MatrixExp", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", "t", " ", RowBox[{"DiagonalMatrix", "[", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"-", SubscriptBox["\[Omega]", "1"]}], ",", RowBox[{"-", SubscriptBox["\[Omega]", "2"]}], ",", "0", ",", "\[Omega]43"}], "}"}], "]"}]}], "+", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", "z", " ", RowBox[{"DiagonalMatrix", "[", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"-", SubscriptBox["k", "1"]}], ",", RowBox[{"-", SubscriptBox["k", "2"]}], ",", "0", ",", "k43"}], "}"}], "]"}]}]}], "]"}]}]}], "]"}], "/.", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Energy", "[", "1", "]"}]}], "+", "\[Delta]1"}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Omega]", "2"], "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{"Energy", "[", "2", "]"}]}], "+", "\[Delta]2"}]}], ",", RowBox[{"\[Omega]43", "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{"Energy", "[", "4", "]"}], "+", "\[Delta]3", "-", "\[Delta]2"}]}], ",", RowBox[{"\[Omega]41", "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{"Energy", "[", "4", "]"}], "+", "\[Delta]4", "-", "\[Delta]1"}]}]}], "}"}]}], "/.", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"k43", " ", "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["k", "3"], "-", SubscriptBox["k", "2"]}]}], ",", RowBox[{"k41", " ", "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["k", "4"], "-", SubscriptBox["k", "1"]}]}]}], "}"}]}]}], ")"}], "//", "MatrixForm"}], " ", "//", "Simplify"}], " ", "\[IndentingNewLine]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell[BoxData[ TagBox[ RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{ {"\[Delta]1", "0", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", SubscriptBox["\[Phi]", "1"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "1"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"t", " ", "\[Delta]1"}], "-", RowBox[{"t", " ", "\[Delta]2"}], "+", RowBox[{"t", " ", "\[Delta]3"}], "-", RowBox[{"t", " ", "\[Delta]4"}], "-", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "1"]}], "+", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "2"]}], "-", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "3"]}], "+", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "4"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "4"]}], ")"}]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"]}]}, {"0", "\[Delta]2", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", SubscriptBox["\[Phi]", "2"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", SubscriptBox["\[Phi]", "3"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "3"]}]}, { RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", SubscriptBox["\[Phi]", "1"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "1"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", SubscriptBox["\[Phi]", "2"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"]}], "0", "0"}, { RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"t", " ", "\[Delta]1"}], "-", RowBox[{"t", " ", "\[Delta]2"}], "+", RowBox[{"t", " ", "\[Delta]3"}], "-", RowBox[{"t", " ", "\[Delta]4"}], "-", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "1"]}], "+", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "2"]}], "-", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "3"]}], "+", RowBox[{"z", " ", SubscriptBox["k", "4"]}], "+", SubscriptBox["\[Phi]", "4"]}], ")"}]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"]}], RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", SubscriptBox["\[Phi]", "3"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "3"]}], "0", RowBox[{"\[Delta]2", "-", "\[Delta]3"}]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Center}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}}], "\[NoBreak]", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell[TextData[{ "Set ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "1"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], "-", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "2"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], " = ", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "4"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], "-", Cell[BoxData[ FormBox[ StyleBox[ SubscriptBox["\[Omega]", "3"], "InlineMath"], TraditionalForm]]], ", and phase-matching: ", Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", SubscriptBox["k", "1"]}], "+", SubscriptBox["k", "2"], "-", SubscriptBox["k", "3"], "+", SubscriptBox["k", "4"]}], "=", "0"}]], CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}] }], "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellID->525228576], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{"Hrwa", "=", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Hrwa", "/.", " ", RowBox[{"\[Delta]4", "\[Rule]", RowBox[{"\[Delta]1", "-", "\[Delta]2", "+", "\[Delta]3"}]}]}], "/.", " ", RowBox[{ SubscriptBox["k", "4"], "\[Rule]", RowBox[{ SubscriptBox["k", "1"], "-", SubscriptBox["k", "2"], "+", SubscriptBox["k", "3"]}]}]}], "/.", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", SubscriptBox["\[Phi]", "j_"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "j_"]}], "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "j", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "+", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "j", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}], "/.", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", SubscriptBox["\[Phi]", "j_"]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "j_"]}], "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "j", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "j", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}]}], ")"}], "//", "MatrixForm"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell[BoxData[ TagBox[ RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{ {"\[Delta]1", "0", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}]}, {"0", "\[Delta]2", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"\[ImaginaryI]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}]}, { RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "0", "0"}, { RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", "\[ImaginaryI]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "0", RowBox[{"\[Delta]2", "-", "\[Delta]3"}]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Center}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}}], "\[NoBreak]", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}], Cell[TextData[{ Cell[BoxData[ ButtonBox["IntrinsicRelaxation", BaseStyle->"Link", ButtonData->"paclet:AtomicDensityMatrix/ref/IntrinsicRelaxation"]]], " and ", Cell[BoxData[ ButtonBox["TransitRelaxation", BaseStyle->"Link", ButtonData->"paclet:AtomicDensityMatrix/ref/TransitRelaxation"]]], " supply the relaxation matrices." }], "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.52258625875446*^9}, CellID->610306692], Cell[BoxData[ RowBox[{"MatrixForm", "[", RowBox[{"relax", "=", RowBox[{ RowBox[{"IntrinsicRelaxation", "[", "system", "]"}], "+", RowBox[{"TransitRelaxation", "[", RowBox[{"system", ",", "\[Gamma]t"}], "]"}]}]}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}, CellChangeTimes->{3.522586258754587*^9}, CellID->645617687], Cell[BoxData[ TagBox[ RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{ {"\[Gamma]t", "0", "0", "0"}, {"0", "\[Gamma]t", "0", "0"}, {"0", "0", RowBox[{"\[Gamma]t", "+", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"]}], "0"}, {"0", "0", "0", RowBox[{"\[Gamma]t", "+", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"]}]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Center}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}}], "\[NoBreak]", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10001.}] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[TextData[{ Cell[BoxData[ ButtonBox["OpticalRepopulation", BaseStyle->"Link", ButtonData->"paclet:AtomicDensityMatrix/ref/OpticalRepopulation"]]], " and ", Cell[BoxData[ ButtonBox["TransitRepopulation", BaseStyle->"Link", ButtonData->"paclet:AtomicDensityMatrix/ref/TransitRepopulation"]]], " supply the repopulation matrices." }], "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{3.522586211804159*^9}, CellID->854192725], Cell[BoxData[ RowBox[{"MatrixForm", "[", RowBox[{"repop", "=", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"OpticalRepopulation", "[", "system", "]"}], "+", RowBox[{"TransitRepopulation", "[", RowBox[{"system", ",", "\[Gamma]t"}], "]"}]}], "/.", RowBox[{ RowBox[{"BranchingRatio", "[", RowBox[{"a_", ",", "b_"}], "]"}], "\[Rule]", SubscriptBox["R", RowBox[{"a", ",", "b"}]]}]}]}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellChangeTimes->{3.522586211804293*^9}, CellID->465762594], Cell[BoxData[ TagBox[ RowBox[{"(", "\[NoBreak]", GridBox[{ { RowBox[{ FractionBox["\[Gamma]t", "2"], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"3", ",", "1"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"4", ",", "1"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4"}]], "[", "t", "]"}]}]}], "0", "0", "0"}, {"0", RowBox[{ FractionBox["\[Gamma]t", "2"], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"3", ",", "2"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"4", ",", "2"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4"}]], "[", "t", "]"}]}]}], "0", "0"}, {"0", "0", "0", "0"}, {"0", "0", "0", "0"} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Center}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.7]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}}], "\[NoBreak]", ")"}], Function[BoxForm`e$, MatrixForm[BoxForm`e$]]]], "Output", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}], Cell["Density-matrix and field variables for one point", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->314466782] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"vars", "=", RowBox[{ RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"DMVariables", "[", "system", "]"}], "/.", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r_", ",", "a_", ",", "b_"}]], "[", "t", "]"}], "->", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r", ",", "a", ",", "b", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}], ",", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "j", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "j", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "}"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"j", ",", "4"}], "}"}]}], "]"}]}], "]"}], "//", "Flatten"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Density matrix evolution equations:", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->398692331], Cell[BoxData[ RowBox[{"TableForm", "[", RowBox[{"eqs", "=", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"Expand", "@", RowBox[{"LiouvilleEquation", "[", RowBox[{"system", ",", "Hrwa", ",", "relax", ",", "repop"}], "]"}]}], "/.", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r_", ",", "a_", ",", "b_"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Rule]", RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r", ",", "a", ",", "b", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}]}], "}"}]}], "/.", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r_", ",", "a_", ",", "b_"}]], "[", "t", "]"}], "->", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r", ",", "a", ",", "b", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], "]"}]], "Input", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->298399236] }, Open ]], Cell[BoxData[ TagBox[ TagBox[GridBox[{ { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ FractionBox["\[Gamma]t", "2"], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"3", ",", "1"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"4", ",", "1"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Delta]1", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", "\[Gamma]t"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]1", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ FractionBox["\[Gamma]t", "2"], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"3", ",", "2"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", SubscriptBox["R", RowBox[{"4", ",", "2"}]], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]1", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]1", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]1", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]3", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]1", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]3", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]3", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]3", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox["1", "2"]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]3", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ FractionBox["1", "2"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"\[Delta]2", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Delta]3", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}, { RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"\[Gamma]t", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]} }, GridBoxAlignment->{ "Columns" -> {{Left}}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> {{Baseline}}, "RowsIndexed" -> {}}, GridBoxSpacings->{"Columns" -> { Offset[0.27999999999999997`], { Offset[0.5599999999999999]}, Offset[0.27999999999999997`]}, "ColumnsIndexed" -> {}, "Rows" -> { Offset[0.2], { Offset[0.4]}, Offset[0.2]}, "RowsIndexed" -> {}}], Column], Function[BoxForm`e$, TableForm[BoxForm`e$]]]], "Output"], Cell["Initial conditions for density matrix:", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->8183146], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"inits", "=", RowBox[{ RowBox[{"InitialConditions", "[", RowBox[{"system", ",", RowBox[{"TransitRepopulation", "[", RowBox[{"system", ",", "1"}], "]"}], ",", "t0"}], "]"}], "/.", " ", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r_", ",", "a_", ",", "b_"}]], "[", "t_", "]"}], "->", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"r", ",", "a", ",", "b", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", FractionBox["1", "2"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", FractionBox["1", "2"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell[TextData[{ "Field evolution equations with finite difference approximation (first-order \ upwind scheme) for co-propagating beams. ", StyleBox["h", FontSlant->"Italic"], " is the the grid spacing in the spatial dimension." }], "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->142706944], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"fieldeqs", "=", RowBox[{"{", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}]}], "}"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell["\<\ Field evolution equations with finite difference approximation (first-order \ upwind scheme) for fields 1 and 2 forward propagating, fields 3 and 4 \ backward propagating. \ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->97303873], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"counterfieldeqs", "=", RowBox[{"{", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "-", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", RowBox[{"i", "-", "1"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "+", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", RowBox[{"i", "+", "1"}]}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", RowBox[{"i", "+", "1"}]}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", "\[IndentingNewLine]", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}], ")"}]}], "+", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", RowBox[{"i", "+", "1"}]}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"\[Eta]", " ", "c", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{"c", RowBox[{ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", RowBox[{"i", "+", "1"}]}]], "[", "t", "]"}], "-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}], "/", "h"}]}]}]}]}], "}"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ RowBox[{"-", FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "1"}], "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"]}], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", RowBox[{"1", "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", RowBox[{"1", "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", RowBox[{"1", "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{"(", SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], ")"}], "\[Prime]", MultilineFunction->None], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ FractionBox[ RowBox[{"c", " ", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"-", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}], "+", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", RowBox[{"1", "+", "i"}]}]], "[", "t", "]"}]}], ")"}]}], "h"], "+", RowBox[{"c", " ", "\[Eta]", " ", RowBox[{ SubscriptBox["\[Rho]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t", "]"}]}]}]}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell["\<\ Initial conditions for fields (assume uniform in space).\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->138519002], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"initfields", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"], " ", RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{"-", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{"t0", "/", "tp"}], ")"}], "2"]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"], " ", RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{"-", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{"t0", "/", "tp"}], ")"}], "2"]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"-", FractionBox[ SuperscriptBox["t0", "2"], SuperscriptBox["tp", "2"]]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"-", FractionBox[ SuperscriptBox["t0", "2"], SuperscriptBox["tp", "2"]]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "i"}]], "[", "t0", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell["\<\ Boundary conditions for co-propagating fields. Fields 1 and 3 are constant, \ fields 2 and 4 are pulsed. The first point is 0, and the last point is n0.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->3468672], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"boundaryconds", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"], " ", RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{"-", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"(", "t", ")"}], "/", "tp"}], ")"}], "2"]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"], RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{"-", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"(", "t", ")"}], "/", "tp"}], ")"}], "2"]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"-", FractionBox[ SuperscriptBox["t", "2"], SuperscriptBox["tp", "2"]]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"-", FractionBox[ SuperscriptBox["t", "2"], SuperscriptBox["tp", "2"]]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]], Cell["\<\ Boundary conditions for counter-propagating fields. Fields 1 and 3 are \ constant, fields 2 and 4 are pulsed.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->102411945], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"counterboundaryconds", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"], " ", RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{"-", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"(", "t", ")"}], "/", "tp"}], ")"}], "2"]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"], RowBox[{"Exp", "[", RowBox[{"-", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{"(", "t", ")"}], "/", "tp"}], ")"}], "2"]}], "]"}]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]}]], "Input"], Cell[BoxData[ RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"-", FractionBox[ SuperscriptBox["t", "2"], SuperscriptBox["tp", "2"]]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "3", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", RowBox[{ SuperscriptBox["\[ExponentialE]", RowBox[{"-", FractionBox[ SuperscriptBox["t", "2"], SuperscriptBox["tp", "2"]]}]], " ", SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"]}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "1", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "3", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}], ",", RowBox[{ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Im", ",", "4", ",", "n0"}]], "[", "t", "]"}], "\[Equal]", "0"}]}], "}"}]], "Output"] }, Open ]] }, Open ]], Cell[CellGroupData[{ Cell["Results", "Section"], Cell["\<\ Choose number of spatial points.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->573833124], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"n", "=", "100"}], ";"}]], "Input"], Cell["\<\ All system variables for all spatial points.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->289922153], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"allvars", "=", RowBox[{"Flatten", "@", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{"vars", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"i", ",", "0", ",", "n"}], "}"}]}], "]"}]}]}], ";"}]], "Input"], Cell["\<\ Equations for all points for the co-propagating case.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->605757010], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"TableForm", "[", RowBox[{"alleqs", "=", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{"DeleteCases", "[", RowBox[{ RowBox[{"Flatten", "@", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"Join", "[", RowBox[{"eqs", ",", "inits", ",", "fieldeqs", ",", "initfields"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"i", ",", "0", ",", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"Alternatives", "@@", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"D", "[", RowBox[{ RowBox[{"#", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}], ",", "t"}], "]"}], "\[Equal]", "_"}], "&"}], "/@", RowBox[{"(", RowBox[{"boundaryconds", "/.", RowBox[{"n0", "\[Rule]", "n"}]}], ")"}]}], ")"}]}]}], "]"}], ",", RowBox[{"(", RowBox[{"boundaryconds", "/.", RowBox[{"n0", "\[Rule]", "n"}]}], ")"}]}], "]"}]}], "]"}], ";"}]], "Input"], Cell["\<\ Equations for all points for the counter-propagating case.\ \>", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->546154363], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"TableForm", "[", RowBox[{"allcountereqs", "=", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{"DeleteCases", "[", RowBox[{ RowBox[{"Flatten", "@", RowBox[{"Table", "[", RowBox[{ RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ "eqs", ",", "inits", ",", "counterfieldeqs", ",", "initfields"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"i", ",", "0", ",", "n"}], "}"}]}], "]"}]}], ",", RowBox[{"Alternatives", "@@", RowBox[{"(", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"D", "[", RowBox[{ RowBox[{"#", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}], ",", "t"}], "]"}], "\[Equal]", "_"}], "&"}], "/@", RowBox[{"(", RowBox[{"counterboundaryconds", "/.", RowBox[{"n0", "\[Rule]", "n"}]}], ")"}]}], ")"}]}]}], "]"}], ",", RowBox[{"(", RowBox[{"counterboundaryconds", "/.", RowBox[{"n0", "\[Rule]", "n"}]}], ")"}]}], "]"}]}], "]"}], ";"}]], "Input"], Cell["Choose tolerance for NDSolve.", "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->53519095], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"SetOptions", "[", RowBox[{"NDSolve", ",", RowBox[{"PrecisionGoal", "\[Rule]", "5"}], ",", RowBox[{"AccuracyGoal", "\[Rule]", "5"}]}], "]"}], ";"}]], "Input"], Cell[TextData[{ "Here we choose parameters and integrate the equations for the co- and \ counter-propagating cases. Black is ", Cell[BoxData[ FormBox[ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"], TraditionalForm]], FormatType->"TraditionalForm"], " pulse before the medium, blue is ", Cell[BoxData[ FormBox[ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "2"], TraditionalForm]], FormatType->"TraditionalForm"], " pulse after the medium, red is ", Cell[BoxData[ FormBox[ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", "4"], TraditionalForm]], FormatType->"TraditionalForm"], " pulse after the medium. Solid lines are co-propagating, dashed lines are \ fields 1 and 2 forward propagating, fields 3 and 4 backward propagating. " }], "MathCaption", CellGroupingRules->{GroupTogetherGrouping, 10000.}, CellID->434761194], Cell[CellGroupData[{ Cell["case I", "Subsection"], Cell[BoxData[ RowBox[{ RowBox[{"params", "=", RowBox[{"{", RowBox[{ RowBox[{"\[Gamma]t", "\[Rule]", RowBox[{"0", " ", "2", "\[Pi]", " ", "0.01", " ", SuperscriptBox["10", "6"]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "3"], "\[Rule]", RowBox[{"2", "\[Pi]", " ", "3.0", " ", SuperscriptBox["10", "6"]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalGamma]", "4"], "\[Rule]", RowBox[{"2", "\[Pi]", " ", "3.0", " ", SuperscriptBox["10", "6"]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["R", RowBox[{"3", ",", "1"}]], "\[Rule]", ".5"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["R", RowBox[{"4", ",", "1"}]], " ", "\[Rule]", ".5"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["R", RowBox[{"3", ",", "2"}]], "\[Rule]", ".5"}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["R", RowBox[{"4", ",", "2"}]], " ", "\[Rule]", ".5"}], ",", RowBox[{"\[Delta]1", "\[Rule]", "0"}], ",", RowBox[{"\[Delta]2", "\[Rule]", "0"}], ",", RowBox[{"\[Delta]3", "\[Rule]", "0"}], ",", RowBox[{"c", "\[Rule]", RowBox[{"3.", " ", SuperscriptBox["10", "8"]}]}], ",", RowBox[{"\[Eta]", "\[Rule]", RowBox[{"2", " ", "3.", " ", SuperscriptBox[ RowBox[{"(", RowBox[{"794.7", " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "9"}]]}], ")"}], "2"], SuperscriptBox["10", "15"], " ", "6", " ", "2", " ", "\[Pi]", " ", RowBox[{ SuperscriptBox["10", "6"], "/", RowBox[{"(", RowBox[{"8.", "\[Pi]"}], ")"}]}]}]}], ",", RowBox[{"t0", "\[Rule]", RowBox[{ RowBox[{"-", "15."}], " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}]}], ",", RowBox[{"tp", "\[Rule]", RowBox[{"4.", " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "1"], "\[Rule]", RowBox[{"3.", " ", "2", "\[Pi]", " ", SuperscriptBox["10", "6"]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "2"], "\[Rule]", RowBox[{"1.", " ", "2", "\[Pi]", " ", SuperscriptBox["10", "3"]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "3"], "\[Rule]", RowBox[{"6.", " ", "2", "\[Pi]", " ", SuperscriptBox["10", "6"]}]}], ",", RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]0", "4"], "\[Rule]", RowBox[{"0", " ", "1.", " ", "2", "\[Pi]", " ", SuperscriptBox["10", "3"]}]}], ",", RowBox[{"h", "\[Rule]", RowBox[{"1.5", " ", RowBox[{ SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "2"}]], "/", "n"}]}]}]}], "}"}]}], ";"}]], "Input"], Cell[BoxData[{ RowBox[{ RowBox[{"alleqs1", "=", RowBox[{"Expand", "@", RowBox[{"Evaluate", "[", RowBox[{"alleqs", "/.", "params"}], "]"}]}]}], ";"}], "\n", RowBox[{ RowBox[{"sol", "=", RowBox[{"NDSolve", "[", RowBox[{"alleqs1", ",", "allvars", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "15."}], " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}], ",", RowBox[{"15.", " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}]}], "}"}]}], "]"}]}], ";"}]}], "Input"], Cell[BoxData[{ RowBox[{ RowBox[{"TableForm", "[", RowBox[{"allcountereqs1", "=", RowBox[{"Expand", "@", RowBox[{"Evaluate", "[", RowBox[{"allcountereqs", "/.", "params"}], "]"}]}]}], "]"}], ";"}], "\n", RowBox[{ RowBox[{"countersol", "=", RowBox[{"NDSolve", "[", RowBox[{"allcountereqs1", ",", "allvars", ",", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "15."}], " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}], ",", RowBox[{"15.", " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}]}], "}"}]}], "]"}]}], ";"}]}], "Input"], Cell[CellGroupData[{ Cell[BoxData[ RowBox[{"Plot", "[", RowBox[{ RowBox[{"Evaluate", "[", RowBox[{"Join", "[", RowBox[{ RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "2"], ",", SuperscriptBox[ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "n"}]], "[", "t", "]"}], "2"], ",", SuperscriptBox[ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "n"}]], "[", "t", "]"}], "2"]}], "}"}], "/.", RowBox[{"sol", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}], ",", RowBox[{ RowBox[{"{", RowBox[{ SuperscriptBox[ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "2", ",", "n"}]], "[", "t", "]"}], "2"], ",", SuperscriptBox[ RowBox[{ SubscriptBox["\[CapitalOmega]", RowBox[{"Re", ",", "4", ",", "0"}]], "[", "t", "]"}], "2"]}], "}"}], "/.", RowBox[{"countersol", "[", RowBox[{"[", "1", "]"}], "]"}]}]}], "]"}], "]"}], ",", RowBox[{"{", RowBox[{"t", ",", RowBox[{ RowBox[{"-", "5."}], " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}], ",", RowBox[{"5.", " ", SuperscriptBox["10", RowBox[{"-", "6"}]]}]}], "}"}], ",", RowBox[{"PlotRange", "\[Rule]", "All"}], ",", RowBox[{"PlotStyle", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{"Black", ",", "Blue", ",", "Red", ",", RowBox[{"Directive", "[", RowBox[{"Blue", ",", "Dashed"}], "]"}], ",", RowBox[{"Directive", "[", RowBox[{"Red", ",", "Dashed"}], "]"}]}], "}"}]}], ",", RowBox[{"Frame", "\[Rule]", "True"}], ",", RowBox[{"FrameLabel", "\[Rule]", RowBox[{"{", RowBox[{ "\"\